Objectifs

Contexte

Approximations de $\pi$

Les décimales de Pi ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans.

Une des plus anciennes approximations de Pi se trouve sur le célèbre papyrus Rhind copié par le scribe Ahmes.

Citons de lui : " L'aire du cercle de diamètre 9 coudées est celle du carré de côté 8 coudées. " Ce qui revient à prendre pour $\pi$ la valeur $(\frac{16}{9})^2$ soit environ 3,16. Nous sommes en 1800 avant J.C.

Au IIIeme siècle avant J.C., dans son ouvrage "De la mesure du cercle", Archimède de Syracuse (-287 ; -212) commence par établir que le rapport de la surface d'un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre à son diamètre.

Archimède s’inspire ensuite de la méthode d’exhaustion due à Eudoxe de Cnide (-408 ; -355) qui consiste à encadrer un cercle de rayon 1 par des polygones réguliers dont il sait calculer le périmètre de façon précise. Il applique cette méthode en prenant des polygones à 96 côtés et obtient une valeur approchée de la circonférence pour en déduire un encadrement de $\pi$ : $2 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}$

En Inde, le plus ancien document connu, le Siddhanta, datant de 380, nous donne comme approximation 3 + 177/1250 = 3,1416 qui sera égalée au VIème siècle par Aryabhata l'Ancien (476 ; 550).

En Chine, Liu Hui utilise, en 263 de notre ère, la méthode d'Archimède avec des polygones à 192 côtés puis 3072 côtés pour trouver une approximation de $\pi$ au cent-millième. Au Veme siècle, les calculs sont simplifiés grace au système décimal. Tsu Chung Chih (430 ; 501) trouve alors une approximation au millionième près (3,141592) : la fraction 355/113 (facile à retenir en lisant de bas en haut : "11,33,55").

Plus tard les arabes poussent plus loin encore les approximations de $\pi$. L'astronome perse de Samarkand Jemshid al Kashi (1380 ; 1429) applique lui aussi la méthode d'Archimède pour calculer une valeur approchée à 14 décimales exactes

En occident, il faut attendre le XVIème siècle pour trouver les premières avancées sérieuses sur le sujet bien que Claude Ptolémée (90? ; 160?) et Léonard de Pise dit Fibonacci (1180 ; 1250) aient proposé des approximations intéressantes de $\pi$. En 1593, François Viete (1540 ; 1603) obtient une approximation à 9 décimales grace à des méthodes analytiques novatrices mais peu efficaces où $\pi$ se calcule par des produits infinis dont chaque facteur se déduit du précedent. En 1609, l'allemand Ludolph van Ceulen (1540 ; 1610) reprend la méthode d'Archimède avec des polygones à 60 x 233 côtés !!! Il calcule ainsi $\pi$ avec 34 décimales exactes. A partir du XVII ème siècle, les recherches vont s'accélérer et les records se succéder. C'est le temps de l'analyse et des mathématiciens tels que John Wallis (1616 ; 1703) , Isaac Newton (1642 ; 1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 ; 1716), John Machin (1680 ; 1751) ou James Stirling (1692 ; 1770) concoivent des formules de calculs infinis de plus en plus performantes.

La notation $\pi$, 16e lettre de l'alphabet grec, n'apparaît qu'en 1647. Elle est due à l'anglais William Oughtred (1574 ; 1660) qui l'utilise pour nommer le périmètre d'un cercle. Il s'est inspiré d'Archimède qui désignait la longueur de la circonférence par le mot "περιμετροξ" (périmètre). Toutefois, il faudra attendre Leonhard Euler (1707 ; 1783) et le succès de son ouvrage "Introduction à l'Analyse infinitésimale" (1748) pour que la lettre $\pi$ s'impose définitivement comme notation du nombre Pi.

Signalons encore un mathématicien remarquable, l'indien Srinivasa Ramanujan (1887 ; 1920). Ce jeune génie des nombres est doué d'une intuition fabuleuse et possède une aptitiude rare au calcul. Il fait de nombreuses découvertes mais la plupart restent sans démonstration. Ramanujan propose des formules permettant d'approcher π. Leur efficacité fait que certaines sont encore utilisées pour la programmation des ordinateurs calculant les décimales de π. Voici une des belles formules découverte en 1910 par Ramanujan qui permet de calculer 8 décimales de π à chaque itération :

$\LARGE{\pi = \frac{9801}{2\sqrt{2}}\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(4n)!(1103 + 26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}}\right)^{-1}}$

Evolution historique sur le nombre de décimales de $\pi$ calculées

Evolution historique complète : ici .

Travail personnel

Choisir une des méthodes suivantes pour calculer des décimales de $\pi$

Chacune des fonctions développées aura en paramètre d'entrée n : le nombre d'itérations et retournera :

Mises en commun des résultats : comparaisons des méthodes de calcul des décimales de $\pi$.

En mettant vos fonctions Python en commun et en les testant pour des valeurs de n croissantes, classer ces méthodes de calcul par leur efficacité pour trouver rapidement des décimales de $\pi$.

On pourra (quand la méthode le permet) déterminer le nombre d'itérations nécessaires (la valeur de n) pour obtenir 1, 2, 3, ... 13 décimales exactes de $\pi$.

Pour aller plus loin ...

$\pi$ est-il un nombre normal, un nombre univers ?

Si $\pi$ est un nombre univers, alors cela signifie que toute suite de chiffres, quelle que soit sa taille, se trouverait dans ses décimales. Ainsi votre numéro de téléphone, votre date de naissance, votre ADN et même tous les écrits passés ou à venir (convertis en chiffres) s'y trouveraient.

Les mathématiciens n'ont pas réussi pour l'instant à démontrer que Pi était un nombre univers, mais la plupart d'entre eux s'accordent à dire que c'en est un.

Un exemple simple de nombre univers : la constante de Champernowne 0.123456789101112131415161718192021...

Un nombre normal est un nombre univers dans lequel chaque suite de chiffres est présente une infinité de fois, et équitablement répartie par rapport aux suites de chiffres de même longueur. Pi est également soupçonné d'être un nombre normal.

Deux illustrations en lien avec cette notion de nombres univers et normal

Le programme PiFast permet de calculer un grand nombre de dédcimales de $\pi$.

Il est basé sur la formule de Chudnovsky $\LARGE{\frac{426880\sqrt{10005}}{\pi} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{(6n)!(545140134n+13591409)}{(n!)^3(3n)!(-640320)^{3n}} \right)}$ qui ajoute aprroximativement 14 décimales à chaque itération.

Voici un fichier avec les 1 million premières décimales de $\pi$.

Utilisez ce fichier pour écrire deux fonctions Python qui :


Auteur : Hugues Malherbe, ressource largement inspirée de l'excellente ressource du site M@ths et tiques