On souhaite organiser un tournoi de rugby avec 5 équipes (numérotées de 1 à 5).
- Représenter la situation avec un graphe.
- Combien d'arêtes ce graphe possède-t-il ? En déduire le nombre de matchs du tournoi.
- Ce graphe est-il connexe ?
- Ce graphe est-il complet ?
- Ce graphe possède 4 + 3 + 2 + 1 = 10 arêtes : il y aura donc 10 matchs à effectuer pour ce tournoi.
- Ce graphe est d'un seul tenant (tous les sommets sont reliés entre eux) : donc ce graphe est bien connexe.
- Ce graphe est aussi complet car chaque sommet est relié à tous les autres.
Un club de tennis doit sélectionner deux joueurs parmi 4 pour représenter le club à un tournoi national/ Les quatres joueurs sont notés A, B, C et D. Pour cette sélection, chaque joueur rencontre les trois autres.
- Chaque match gagné rapporte un point.
- Chaque match perdu enlève un point.
Les résultats des matchs entre ces 4 joueurs est donné sous la forme d'un graphe orienté.
Le sens de l'arc A → B indique que le joueur A a battu le joueur B.
- Donner le nombre de points de chaque joueur.
- En déduire les joueurs sélectionnés.
-
Voici les points de chaque joueur :
- Joueur A : 2 victoires - 1 défaite = 1 point
- Joueur B : 0 victoire - 3 défaites = - 3 points
- Joueur C : 3 victoires - 0 défaite = 3 points
- Joueur D : 1 victoire - 2 défaites = -1 point
- Les joueurs qualifiés sont le C (avec 3 points) et le A (avec 1 point).
On donne le graphe suivant :
- Donner la liste des successeurs et des prédécesseurs associés à ce graphe.
- Donner la matrice d'adjacence associée à ce graphe.
Sommet
Listes des successeurs
Listes des prédécesseurs
A
(A,B,C)
(A,C,D)
B
(D,E)
(A,D,E)
C
(A,C,D)
(A,C,E)
D
(A,B)
(B,C)
E
(B,C)
(B)
-
matrice d'adjacence = $\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\
\end{pmatrix}$